Der Aufbau des Laserfeldes

Hier wollen wir eine einfache Gewinn-Verlust Rechnung machen, die zeigt, wie die Leistung P des Laserfeldes von Umlauf zu Umlauf im Resonator wächst und dann wegen des einsetzenden Sättigungseffekts auf einem konstanten Wert verharrt.
Nehmen wir an, wir hätten beim i-ten Umlauf ein Laserfeld mit der Leistung (Energie pro Zeit) Pi erreicht und wollen berechnen, wie groß die Leistung Pi+1 nach dem i+1 Umlauf ist. Dazu müssen wir ganz pauschal rekapitulieren, was mit dem Laserfeld bei einem Umlauf passiert.

  • Wegen der Schlängelbewegung der Elektronen im Undulator wird Strahlung (spontan) emittiert. Ihre Leistung wollen wir mit Pspon bezeichnen. Sie ist unabhängig vom bereits vorhandenen Laserfeld und addiert sich einfach zur vorhandenen Leistung. Die Leistung der spontanen Strahlung ist viel geringer als die Endleistung des Lasers. Sie ist aber unbedingt notwendig, um den Prozess in Gang zu bringen. In unserer Beispielsrechnung mit der unteren Abbildung haben wir dafür 1 W angenommen.

  • Durch die gleichzeitig im Undulator stattfindende Verstärkung wird dem Laserfeld ein Anteil hinzugefügt, der dem bereits vorhandenen Feld proportional ist. Bezeichnet man die Verstärkung mit G, so steigt die Laserleistung bei einem Umlauf um den Betrag G*Pi. Die Größe der Verstärkung kann in Abhängigkeit von Elektronenstrahl und Undulatoreigenschaften um Größenordnungen schwanken. Als Maximalwert wurde etwa 105 erreicht. Bei einer solchen Verstärkung ist es natürlich nicht nötig, den Laserstrahl mehrmals durch den Undulator zu führen. Für die Undulatoren von ELBE wurde eine Verstärkung von einigen 10% berechnet. In unserem Beispiel nehmen wir an, G betrage 40%.

  • Die Verstärkung G ist nicht unabhängig vom bereits vorhandenen Laserfeld. Sie gilt eigentlich nur für den Fall, dass das Laserfeld klein genug ist. Steigt die Laserleistung im Resonator an, so können nicht mehr alle Elektronen an der Energieübertragung auf das Strahlungsfeld teilnehmen und die aktuelle Verstärkung sinkt. Man beschreibt das durch einen Faktor η=1/(1+P/Psat) mit dem Parameter Psat, den man als Sättigungsleistung bezeichnet. Er beschreibt diejenige Leistung, bei der die Verstärkung auf die Hälfte ihres Anfangswertes gesunken ist. Die Sättigungsleistung kann in Abhängigkeit von Undualtor- und Strahlparametern berechnet werden. Wir wollen eine Sättigungsleistung von 100 MW annehmen.

  • Bei jedem Umlauf gehen auch einige Prozente der Laserleistung verloren. Das passiert z.B. an den Spiegeln, deren Reflektionsvermögen kleiner als 100% ist und die nur eine endliche Größe haben. Aber auch beim Durchlaufen des Undulator als den engsten Teil des Resonators entstehen Verluste. Insgesamt wollen wir annehmen, dass der Anteil V der Strahlung verloren geht. Im Rechenbeispiel seien das 5%.

  • Desweiteren wird dem Resonator ein Anteil O entnommen, der dann für Experimente zur Verfügung steht. Die Größe des entnommenen (man sagt ausgekoppelten) Anteils wollen wir in der Abbildung variieren.

  • Damit es überhaupt zu einer Netto-Verstärkung des elektromagnetischen Feldes kommt, muss die Verstärkung größer als die Verluste sein: G > V+O.

Damit lautet die gesuchte Gleichung für den ersten Umlauf des Laserstrahl:

P1 = Pspon


Für jeden weiter Umlauf gilt:

Pi+1 = Pspon + [1+η·G-V-O]*Pi


Der jeweils ausgekoppelte Anteil beträgt:

Piout=O*Pi


Solange die Verstärkung konstant ist, beschreiben die obigen Gleichungen ein exponentielles Wachstum der Laserleistung. Erreicht die Leistung einen Werte in der Nähe der Sättigungsleistung, reduziert sich ihr Anstieg. Ein Gleichgewicht ist schließlich dann erreicht, wenn die durch den Sättigungseffekt reduzierte Verstärkung gleich der Summe von Verlusten und dem ausgekoppelten Anteil ist. Das wird in der unteren Abbildung illustriert.

Die nebenstehenden Abbildungen zeigen die aktuelle Laserverstärkung (oberer Teil), die Laserleistung innerhalb des Resonators (mittlerer Teil) und die ausgekoppelte Laserleistung (unterer Teil) in Abhängigkeit von der Zahl N der Umläufe des Laserstrahls im Resonator. Die verschiedenen Kurven entsprechen unterschiedlichen Annahmen über den Anteil O, der dem Resonator entnommen wird. Praktisch kann man O durch unterschiedlich große Löcher in einem der Resonatorspiegel variieren.



Zu Beginn wird eine Verstärkung von 40% angenommen. Auf Grund dieser Verstärkung steigt die Laserleistung im Resonator exponentiell an. Erst nach etwa 50 Umläufen erreicht die Leistung einen in der Grafik sichtbaren Wert. Je kleiner der ausgekoppelte Anteil ist, um so schneller wächst die Leistung.
Je nach Leistungsanstieg setzt bei 60 bis 120 Umläufen die Sättigung ein. Das Wachstum G reduziert sich von den anfänglichen 40% auf einen Wert, der gleich den Gesamtverlusten ist. Von nun an bleibt die Leistung im Resonator konstant. Je kleiner der ausgekoppelte Anteil ist, um so größer ist die im Resonator gespeicherte Leistung.
Die ausgekoppelten Leistung erhält man durch Multiplikation der Leistung im Resonator mit dem Prozentsatz O der Auskopplung. Um eine möglichst große Leistung auskoppeln zu können, muss man ein Optimum zwischen interner Leistung und Auskopplung finden. In unserem Beispiel liegt das Optimum bei etwa 10% Auskopplung (untere Abbildung, grüne Kurve). Koppelt man weniger aus, erhät man auch weniger, koppelt man mehr aus, bricht die Leistung im Resonator zusammen und man erhält letztlich auch weniger nach außen.