Untersuchung von Spektraleigenschaften kugelsymmetrischer alpha2-dynamos mit Techniken der Funktionalanalysis und Operatortheorie

Zum besseren Verständnis natürlicher Dynamos und zur Datenauswertung und Auslegung von Dynamoexperimenten ist ein vertieftes Verständnis des Spektrums von Dynamooperatoren nötig. Dies gilt insbesondere für die Erklärung von Umpolungsprozessen des Erdmagnetfeldes, die sehr wahrscheinlich mit spektralen Phasenübergängen zwischen nicht-oszillierenden und oszillierenden Lösungen der Induktionsgleichung in engem Zusammenhang stehen. Der erste Schwerpunkt des Projektes lag auf spektraltheoretischen Grundlagenuntersuchungen einfacher Dynamomodelle mit kugelsymmetrischen helikalen Turbulenzparametern. Hier konnte gezeigt werden, dass der Differentialausdruck des entsprechenden Dynamo-Operators eine diskrete Symmetrie besitzt, welche es erlaubt, ihn für idealisierte Randbedingungen als selbstadjungierten Operator in einem Krein-Raum (einem Hilbert-Raum mit zusätzlicher indefiniter Metrik) zu behandeln. Dadurch besitzt er eine Vielzahl von Gemeinsamkeiten mit Hamilton-Operatoren der PT-symmetrisch erweiterten Quantenmechanik, welche sich ebenfalls als Operatortheorie in Krein-Räumen formulieren lässt. Viele dieser Parallelen wurden aufgezeigt, darunter das spektrale Verzweigungsverhalten zweiter und höherer Ordnung. Der zweite Schwerpunkt des Projektes lag auf der numerischen Behandlung des betrachteten einfachen Dynamomodells mit nichtlinearer Rückwirkung und Rauschen. Dabei konnte einerseits gezeigt werden, dass sich die typischen Eigenschaften von Umpolungen tatsächlich auf die Magnetfelddynamik in der Nähe spektraler Verzweigungspunkte zurückführen lassen. Andererseits wurde gezeigt, dass es eine starke Tendenz hochüberkritischer Dynamos gibt, sich in einen zu Umpolungen neigenden Zustand zu begeben, und dass sich die typischen Umpolungszeiten des Geodynamos ebenfalls auf die hohe Überkritikalität zurückführen lassen. Die bemerkenswerte Übereinstimmung der numerisch bestimmten Umpolungsmerkmale mit denjenigen des realen Geodynamos legen den Schluß nahe, dass der untersuchte Umpolungsmachanismus in der Nähe spektraler Verzweigungspunkte generischen Charakter hat und sich auch in komplizierteren Dynamomodellen identifizieren lassen sollte.